Question

1．过抛物线的顶点任作互相垂直的两条弦，交抛物线于两点，求证：这两点所连线段中点的轨迹是抛物线．

Answer 1

分析 先设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）及中点P的坐标，根据中点的定义得到三点坐标之间的关系，再由OA⊥OB得到₁x₂+y₁y₂=0，结合A、B两点在抛物线上满足抛物线方程可得到y₁y₂、y₁²+y₂²的关系消去x₁、y₁、x₂、y₂可得到最后答案．

解答 证明：不妨设抛物线y²=2px（p＞0），设A、B两点坐标为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），AB中点P坐标为（x₀，y₀），则x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀
由OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0．
∴（y₁y₂）²=4p²x₁x₂=-4p²y₁y₂
∴y₁y₂=-4p²
∵y₁²+y₂²=2p（x₁+x₂）
∴（y₁+y₂）²-2y₁y₂=2p（x₁+x₂）
∴4y₀²+8p²=4px₀
即y₀²=px₀-2p²
∴中点轨迹方程为：y²=px-2p²，
∴这两点所连线段中点的轨迹是抛物线．

点评 本题主要考查直线和抛物线的综合问题，考查轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．