Question

已知椭圆,为其右焦点，离心率为.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；
(Ⅱ)若点，问是否存在直线，使与椭圆交于两点，且．若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）存在这样的直线，其斜率的取值范围是．

试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的参数之间的关系容易求解；（Ⅱ）假设存在这样的直线满足题意，并设．根据，可以得到与的关系式．由，得，利用一元二次方程的根与系数的关系，可以转化为和的关系，再利用判别式，即可判断是否存在这样的直线，以及存在时的取值范围．
试题解析：
（Ⅰ）由题意知：，∵离心率，∴，，
故所求椭圆C的标准方程为．                        4分
（Ⅱ）假设存在这样的直线满足题意，并设．
因为，，，
所以：

                            5分
由，得．
根据题意，，得，
且，
所以                         8分
即，
解得，或．                        10分
当时，（），显然符合题意；
当时，代入，得，解得．
综上所述，存在这样的直线，其斜率的取值范围是．          13分．