Question

已知椭圆C:的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为的菱形的四个顶点.
(I)求椭圆C的方程；
(II)若直线y =kx交椭圆C于A，B两点，在直线l:x+y-3=0上存在点P,使得 ΔPAB为等边三角形,求k的值.

Answer 1

(I)； (II)  或．

试题分析：(I)由图形的对称性及椭圆的几何性质，易得，进而写出方程； (II) 先找到AB中垂线与l的交点，保证ΔPAB为等腰三角形，再满足即可保证ΔPAB为等边三角形，此外，注意对于特殊情形的讨论．
试题解析：
(I)因为椭圆的四个顶点恰好是一边长为2，
一内角为的菱形的四个顶点,
所以,椭圆的方程为．               4分
(II)设则
当直线的斜率为时，的垂直平分线就是轴，
轴与直线的交点为,
又因为，所以，
所以是等边三角形,所以满足条件；           6分
当直线的斜率存在且不为时，设的方程为
所以，化简得
所以 ，则      8分
设的垂直平分线为，它与直线的交点记为
所以，解得,
则                                        10分
因为为等边三角形， 所以应有
代入得到，解得（舍），     13分
综上可知， 或                               14分