Question

14．已知函数f（x）=2sinωxcosωx+2$\sqrt{3}$sin²ωx-$\sqrt{3}$（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）将函数f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在$[-\frac{π}{12}，\frac{π}{3}]$上的最值．

Answer 1

分析 （1）根据二倍角的三角函数公式与辅助角公式化简得f（x）=2sin（2ωx-$\frac{π}{3}$），利用周期公式算出ω=1，得函数解析式为f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）．再由正弦函数单调区间的公式，解关于x的不等式即可得到函数f（x）的单调增区间；
（2）求出g（x）的解析式，根据函数的单调性求出函数在闭区间的最值即可．

解答 解：（1）由题意得：
f（x）=2sinωxcosωx+2$\sqrt{3}$sin²ωx-$\sqrt{3}$
=sin2ωx-$\sqrt{3}$cos2ωx
=2sin（2ωx-$\frac{π}{3}$）…（2分）
由周期为π，得ω=1，得f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$） …（4分）
由正弦函数的单调递增区间得
2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z，
所以函数f（x）的单调递增区间是[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z  …（6分）
（2）将函数f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，再向上平移1个单位，
得到y=2sin2x+1的图象，所以g（x）=2sin2x+1…（9分）
因为$x∈[{-\frac{π}{12}，\frac{π}{3}}]$，所以$2x∈[{-\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}}]$，故2sinx∈[-1，2]，
所以函数g（x）的最大值为3，最小值为0．…（13分）

点评 本题给出三角函数式满足的条件，求函数的单调区间问题，着重考查了二倍角的三角函数公式、辅助角公式与三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．