Question

1．求下列函数的最大值．
（1）f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx；
（2）f（x）=sinx+cosx；
（3）f（x）=3sinx+4cosx；
（4）f（x）=asinx+bcosx（a，b＞0）

Answer 1

分析 利用辅助角公式化简函数的解析式，再根据正弦函数的最大值得出结论．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx=sin（x+$\frac{π}{4}$），故它的最大值为1；
（2）f（x）=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），故它的最大值为$\sqrt{2}$；
（3）f（x）=3sinx+4cosx=5（$\frac{3}{5}$sinx+$\frac{4}{5}$cosx）=5sin（x+θ），
其中，cosθ=$\frac{3}{5}$，sinθ=$\frac{4}{5}$，θ为锐角；故它的最大值为5；
（4）f（x）=asinx+bcosx（a，b＞0）=$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$ （$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}$sinx+$\frac{b}{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}$cosx）
=$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$sin（x+θ），故它的最大值为$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$．

点评 本题主要考查辅助角公式，正弦函数的最大值，属于基础题．