Question

已知函数f（x）=e^x-e^-x，实数x，y满足f（x²-2x）+f（2y-y²）≥0，若点M（1，2），N（x，y），则当1≤x≤4时，

OM

•

ON

的最大值为

 

（其中O为坐标原点）

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：函数的性质及应用,平面向量及应用

分析：可判函数f（x）为奇函数增函数，问题转化为在

(x-y)(x+y-2)≥0 1≤x≤4

之下，求z=x+2y的最大值的线性规划问题，作图可得．

解答： 解：∵f（x）=e^x-e^-x，∴f（-x）=e^-x-e^x=-f（x），
∴函数f（x）=e^x-e^-x为奇函数，
又易判f（x）=e^x-e^-x=e^x-

1

ex

为R上的增函数，
∴f（x²-2x）+f（2y-y²）≥0可化为f（x²-2x）≥-f（2y-y²），
由奇函数的性质可得f（x²-2x）≥f（-2y+y²），
∴x²-2x≥-2y+y²，变形可得（x-y）（x+y-2）≥0，
又∵点M（1，2），N（x，y），∴

OM

•

ON

=x+2y，
问题转化为在

(x-y)(x+y-2)≥0 1≤x≤4

之下，求z=x+2y的最大值的线性规划问题，

作出图象可知当目标直线（红色）经过图中的点A时，z=x+2y取最大值，
联立

y=x x=4

可解x=4，y=4，即A（4，4），
代入计算可得z=x+2y的最大值为z_max=4+2×4=12．
故答案为：12

点评：本题考查平面向量的数量积，涉及函数的单调性奇偶性以及线性规划问题，属中档题．