Question

已知椭圆的离心率为=,椭圆上的点到两焦点的距离之和为12,点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点．点在椭圆上，且位于轴的上方，．
(I) 求椭圆的方程；
(II)求点的坐标；
(III)  设是椭圆长轴AB上的一点，到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点的距离的最小值．

Answer 1

解：（I）         （II）点P的坐标是()    （III）当x=时，d取得最小值. 

本试题主要是考查了椭圆方程的求解以及点的坐标的求解和圆锥曲线上点到点的距离的最值问题的求解的综合运用。
（1）因为椭圆上的点到两焦点的距离之和为12，
∴     并且由离心率 =，∴   
结合a,b,c关系，∴椭圆的方程为                                
（2）由(1)可得点A(-6，0)，B（6，0），F(0，4)                        
设点P(x，y)，则=(x+6，y)，=(x-4，y)，由已知可得联立方程组得到关于x的一元二次方程， 则 2x²+9x-18=0，x=或x=-6．由于y>0，只能x=，于是y=     
从而得到点P的坐标。      
（3）直线AP的方程是x-+6=0                                    
设点M的坐标为(m，0)，则M到直线AP的距离是 ．
∴= |m-6|，又-6≤m≤6，解得m=2．                           
∴M点的坐标为（2，0）                                            
设椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d，则利用两点的距离公式可以解得最值