Question

已知f（x）=x²-2ax+2．
（1）求f（x）在区间[2，+∞）上的最小值；
（2）若不等式f（x）＞0在区间[2，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；
（3）解关于x的不等式f（x）≤0．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数恒成立问题

专题：计算题,分类讨论,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）求出对称轴，讨论当a≥2时，当a＜2时，函数的单调性，进而得到最小值；
（2）不等式f（x）＞0在区间[2，+∞）恒成立，则f（x）_min＞0，由（1），即可得到范围；
（3）讨论判别式大于0，等于0，小于0，运用求根公式，讨论两根的大小，即可得到解集．

解答： 解：（1）由于f（x）的对称轴为x=a，当a≥2时，f（x）在[2，a]递减，
在（a，+∞）递增，则f（x）_min=f（a）=2-a²；
当a＜2时，f（x）在[2，+∞）递增，则f（x）_min=f（2）=6-4a．
故f（x）_min=

2-a2，a≥2 6-4a，a＜2

；
（2）不等式f（x）＞0在区间[2，+∞）恒成立，则f（x）_min＞0，
由（1）得，0＜2-a²，解得-

2

＜a＜

2

；
（3）∵△=4a²-8，
∴①当△＜0，即-

2

＜a＜

2

时，原不等式对应的方程无实根，
原不等式的解集为ϕ．
②当△=0，即a=±

2

时，原不等式对应的方程有两个相等实根．
当a=

2

时，原不等式的解集为{x|x=

2

}，
当a=-

2

时，原不等式的解集为{x|x=-

2

}；
③当△＞0，即a＞

2

或a＜-

2

时，
原不等式对应的方程有两个不等实根，
分别为x₁=a-

a2-2

，x₂=a+

a2-2

，且x₁＜x₂，
∴原不等式的解集为{x|a-

a2-2

≤x≤a+

a2-2

}，
综上所述，当-

2

＜a＜

2

时，不等式的解集为ϕ；
当a=

2

时，不等式的解集为{x|x=

2

}}；
当a=-

2

时，不等式的解集为{x|x=-

2

}；
当a＞

2

或a＜-

2

时，不等式的解集为{x|a-

a2-2

≤x≤a+

a2-2

}．

点评：本题考查二次函数在闭区间上的最值，注意对称轴和区间的关系，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．