Question

5．在直角坐标系中，曲线C的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=\sqrt{3}sinθ\end{array}\right.$，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=a+2t\\ y=1-t\end{array}\right.$．
（1）若直线l与曲线C只有一个公共点，求实数a；
（2）若点P，Q分别为直线l与曲线C上的动点，若${|{PQ}|_{min}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，求实数a．

Answer 1

分析 （1）由曲线C的参数方程求出曲线C的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，由直线l的参数方程求出直线l的普通方程为x+2y-a-2=0，联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{x+2y-a-2=0}\end{array}\right.$，得16y²-（12a+24）y+3a²+12a=0，由直线l与曲线C只有一个公共点，利用根的判别式为0，能求出a．
（2）设Q（2cosθ，$\sqrt{3}sinθ$），求出点Q到直线l的距离d=$\frac{\sqrt{5}}{5}$|4sin（$θ+\frac{π}{6}$）-a-2|，由题意知当sin（$θ+\frac{π}{6}$）=1时，|PQ|_min=$\frac{\sqrt{5}}{5}$|2-a|=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，由此能求出a．

解答 解：（1）∵曲线C的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=\sqrt{3}sinθ\end{array}\right.$，
∴曲线C的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
∵直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=a+2t\\ y=1-t\end{array}\right.$，
∴直线l的普通方程为x+2y-a-2=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{x+2y-a-2=0}\end{array}\right.$，得16y²-（12a+24）y+3a²+12a=0，
∵直线l与曲线C只有一个公共点，
∴△=[-（12a+24）]²-4×16×（3a²+12a）=-a²-4a+12=0，
解得a=2或a=-6．
（2）设Q（2cosθ，$\sqrt{3}sinθ$），
点Q到直线l的距离d=$\frac{|2cosθ+2\sqrt{3}sinθ-a-2|}{\sqrt{1+4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$|4sin（$θ+\frac{π}{6}$）-a-2|，
∵点P，Q分别为直线l与曲线C上的动点，${|{PQ}|_{min}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
∴当sin（$θ+\frac{π}{6}$）=1时，|PQ|_min=$\frac{\sqrt{5}}{5}$|2-a|=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
解得a=1或a=3．

点评 本题考查实数值的求法，考查弦长的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．