Question

13．已知△ABC是边长为4的等边三角形，P为平面ABC内一点，则$\overrightarrow{PA}•（\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}）$的最小值是（　　）

• A． -2
• B． $-\frac{3}{2}$
• C． -3
• D． -6 

Answer 1

分析 建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，利用坐标法结合平面向量数量积的定义，求最小值即可．

解答 解：以BC中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，

则A（0，2$\sqrt{3}$），B（-2，0），C（2，0），
设P（x，y），则$\overrightarrow{PA}$=（-x，2$\sqrt{3}$-y），
$\overrightarrow{PB}$=（-2-x，-y），
$\overrightarrow{PC}$=（2-x，-y），
所以$\overrightarrow{PA}$•（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）=-x•（-2x）+（2$\sqrt{3}$-y）•（-2y）
=2x²-4$\sqrt{3}$y+2y²
=2[x²+2（y-$\sqrt{3}$）²-3]；
所以当x=0，y=$\sqrt{3}$时，$\overrightarrow{PA}$•（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）取得最小值为2×（-3）=-6．
故选：D．

点评 本题主要考查了平面向量数量积的应用问题，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解题的关键．