题目内容

13．如图，已知椭圆C1：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，点A（0，$\sqrt{3}$）和点P都在椭圆C1上，椭圆C2方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=4．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）过P作椭圆C1的切线l交椭圆C2于M，N两点，过P作射线PO交椭圆C2于Q点，设$\overrightarrow{OQ}$=λ$\overrightarrow{OP}$；
（i）求λ的值；
（ii）求证：△QMN的面积为定值，并求出这个定值．

分析 （1）由椭圆离心率和点P在椭圆上，求出a，b，由此能求出椭圆C1的方程．
（2）（i）设P（m，n），则由$\overrightarrow{OQ}$=λ$\overrightarrow{OP}$得：Q（λm，λn），由P在椭圆C1上，能求出λ的值．
设切线l的方程为：y=kx+t，与椭圆联立，得：（4k2+3）x2+8ktx+4t2-12=0，由此利用根的判别式、韦达定理，弦长公式、点到直线距离公式，能证明△QMN的面积为定值，这个定值为18．

解答 解：（1）∵椭圆C1：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，点A（0，$\sqrt{3}$）和点P都在椭圆C1上，
∴e=$\frac{1}{2}$，∴a2=4c2=4a2-4b2，∴3a2=4b2，又由题意知：b=$\sqrt{3}$，∴a2=4，
∴椭圆C1的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．…（4分）
（2）（i）设P（m，n），则由$\overrightarrow{OQ}$=λ$\overrightarrow{OP}$得：Q（λm，λn），
∵Q在椭圆C2上，∴$\frac{{λ}^{2}{m}^{2}}{4}+\frac{{λ}^{2}{n}^{2}}{3}$=4
λ2（$\frac{{m}^{2}}{4}$+$\frac{{n}^{2}}{3}$）=4，∵P在椭圆C1上，∴$\frac{{m}^{2}}{4}+\frac{{n}^{2}}{3}$=1，∴λ2=4，又∵λ＜0，∴λ=-2，…（7分）
证明：（ii）设切线l的方程为：y=kx+t
联立方程组：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=kx+t}\end{array}\right.$，联立并消元整理得：（4k2+3）x2+8ktx+4t2-12=0，
△=48（4k2+3-t2）=0，∴4k2+3=t2，…②
联立方程组：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\\{y=kx+t}\end{array}\right.$，消元整理得：（16k2+12）x2+32ktx+16t2-16×12=0，…①
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1，x2是方程①的两个解，由韦达定理得：
x1+x2=$\frac{-32kt}{16{k}^{2}+12}$，x1x2=$\frac{16{t}^{2}-16×2}{16{k}^{2}+12}$，
|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\frac{16\sqrt{3}•\sqrt{16{k}^{2}+12-{t}^{2}}}{16{k}^{2}+12}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{16\sqrt{3}•\sqrt{12{k}^{2}+9}}{16{k}^{2}+12}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{12}{\sqrt{4{k}^{2}+3}}$，
设O到直线MN的距离为d1，Q到直线MN的距离为d2，则由（i）知：d2=3d1
d2=3d1=$\frac{3t}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，由②知：t=$\sqrt{4{k}^{2}+3}$，∴d2=$\frac{3\sqrt{4{k}^{2}+3}}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴S△QMN=$\frac{1}{2}$•|MN|•d2=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{12}{\sqrt{4{k}^{2}+3}}$•$\frac{3\sqrt{4{k}^{2}+3}}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=18
即△QMN的面积为定值，这个定值为18．…（12分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查实数值的求法，考查三角形面积为定值的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理，弦长公式、点到直线距离公式的合理运用．

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