Question

16．已知双曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为3．若抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的焦点到双曲线C₁的渐近线的距离为$\frac{2}{3}$，则抛物线C₂的方程为（　　）

• A． x²=33y
• B． x²=33y
• C． x²=8y
• D． x²=16y

Answer 1

分析 由题意可知：双曲线渐近线为bx±ay=0，e=$\frac{c}{a}$=3，则c=3a，焦点（0，$\frac{p}{2}$），到bx±ay=0的距离d=$\frac{\frac{ap}{2}}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{ap}{2c}$=$\frac{2}{3}$，求得p，即可求得抛物线C₂的方程．

解答 解：由题意可得双曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）渐近线为y=±$\frac{b}{a}$x，
化为一般式可得bx±ay=0，离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{a}$=3，
解得：b=2$\sqrt{2}$a，c=3a，
又抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的焦点为（0，$\frac{p}{2}$），
故焦点到bx±ay=0的距离d=$\frac{\frac{ap}{2}}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{ap}{2c}$=$\frac{2}{3}$，
∴p=$\frac{4c}{3a}$=$\frac{4×3a}{3a}$=4，
∴抛物线C₂的方程为：x²=8y
故选C．

点评 本题考查椭圆及双曲线的简单几何性质，考查点到直线的距离公式，考查计算能力，属于基础题．