Question

4．如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，C为底面圆周上一点．
（Ⅰ）若弧BC的中点为D．求证：AC∥平面POD；
（Ⅱ）如果△PAB面积是9，求此圆锥的表面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证法1：设BC∩OD=E，由已知可证AC∥OE，线线平行即可证明线面平行AC∥平面POD；证法2：由AB是底面圆的直径，可证AC⊥BC，利用OD⊥BC，可证AC∥OD，即可判定AC∥平面POD．
（Ⅱ）设圆锥底面半径为r，高为h，母线长为l，由圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，可求$h=r，l=\sqrt{2}r$，利用三角形面积公式可求r，进而可求此圆锥的表面积．

解答 解：（Ⅰ）证法1：设BC∩OD=E，∵D是弧BC的中点，
∴E是BC的中点，
又∵O是AB的中点，∴AC∥OE，
又∵AC?平面POD，OE?平面POD，
∴AC∥平面POD．
证法2：∵AB是底面圆的直径，∴AC⊥BC，
∵弧BC的中点为D，∴OD⊥BC，
又AC，OD共面，∴AC∥OD，
又AC?平面POD，OD?平面POD，
∴AC∥平面POD．
（Ⅱ）解：设圆锥底面半径为r，高为h，母线长为l，
∵圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，
∴$h=r，l=\sqrt{2}r$，
∵由${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}×2r×h={r^2}=9$，得r=3，
∴${S_表}=πrl+π{r^2}=πr×\sqrt{2}r+π{r^2}=9（{1+\sqrt{2}}）π$．

点评 本题主要考查了线面平行的判定，考查了三角形面积公式，考查了圆锥的表面积的求法，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．