Question

15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3acosA=bcosC+ccosB
（1）求cosA
（2）若a=3，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理将边化角，利用两角和的正弦函数公式化简得出cosA；
（2）利用余弦定理和基本不等式得出bc的最大值，代入三角形的面积公式求出面积最大值．

解答 解：（1）在△ABC中，∵3acosA=bcosC+ccosB，
∴3sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA，即3sinAcosA=sinA，
又A∈（0，π），∴sinA≠0，
∴$cosA=\frac{1}{3}$．
（2）∵a²=b²+c²-2bccosA，即${b^2}+{c^2}-\frac{2}{3}bc=9$，∴b²+c²=9+$\frac{2}{3}$bc≥2bc，∴$bc≤\frac{27}{4}$．
∵sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴△ABC的面积$S=\frac{1}{2}bcsinA$$≤\frac{1}{2}•\frac{27}{4}•\frac{{2\sqrt{2}}}{3}=\frac{{9\sqrt{2}}}{4}$，（$b=c=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$时取等号）
∴${S_{max}}=\frac{{9\sqrt{2}}}{4}$．

点评 本题考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式的应用，属于中档题．