Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为矩形， ,

.

（1）求直线与平面所成角的正弦值；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】试题分析：（1）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组求出平面一个法向量，利用向量数量积求直线方向向量与法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角关系求直线与平面所成角的正弦值；（2）列方程组求出两个平面法向量，利用向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角关系确定二面角的余弦值.

试题解析：∵，∴底面，又底面为矩形，∴分别以为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则.

∴.

（1）设平面的一个法向量，

则令，得 ，

∴与平面所成角的正弦值.

（2）设平面的一个法向量，

则令，得 ，

∴，∴二面角的余弦值为.