Question

【题目】已知椭圆的离心率为，上顶点到直线的距离为.

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在过点的直线与椭圆交于不同的两点，线段的中点为，使得？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) .(2)不存在直线满足题意.

【解析】试题分析：（1）由上顶点到直线的距离为，可得，在由离心率即，即可求解的值，得到椭圆的方程.

（2）设直线的方程为，联立方程组，利用，得到，设交点的中点为，得，再利用，转化为，即可推导处矛盾，从而得出结论.

试题解析：

（1）由题可得，可得，

故椭圆的方程为.

（2）假设存在满足条件的直线，易知在椭圆的外部，

当直线的斜率不存在时，直线与椭圆无交点，所以直斜率存在，设斜率为，

则直线的方程为，

由方程组，得，

依题意，

当时，设交点的中点为，

则，

所以，

又，

所以，

所以，而不成立，

所以不存在直线，使得.