Question

方程

x|x|

16

+

y|y|

9

=-1的曲线即为函数y=f（x）的图象，对于函数y=f（x），有如下结论：
①f（x）在R上单调递减；
②函数F（x）=4f（x）+3x不存在零点；
③函数y=f（x）的值域是R；
④若函数g（x）和f（x）的图象关于原点对称，则函数y=g（x）的图象就是方程

y|y|

16

+

x|x|

9

=1确定的曲线．
其中所有正确的命题序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：计算题,函数的性质及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据x、y的正负去绝对值，将方程

x|x|

16

+

y|y|

9

=-1化简，得到相应函数在各个区间上的表达式，由此作出函数的图象，再由图象可知函数在R上单调递减，且函数的值域为R，所以①③成立；
根据F（x）=4f（x）+3x=0得f（x）=-

3

4

x，再由函数图象对应的曲线以y=±

3

4

x为渐近线，得到f（x）=-

3

4

x没有实数根，因此②正确．
根据曲线关于原点对称的曲线方程的公式，可得若函数g（x）和f（x）的图象关于原点对称，则y=g（x）的图象对应的方程是

x|x|

16

+

y|y|

9

=1，说明④错误．由此可得本题的答案．

解答： 解：对于①，当x≥0且y≥0时，方程为

x2

16

+

y2

9

=-1，此时方程不成立．
当x＜0且y＜0时，方程为

x2

16

+

y2

9

=1，此时y=-3

1- x2 16

．
当x≥0且y＜0时，方程为

x2

16

-

y2

9

=-1，此时y=-3

1+ x2 16

．
当x＜0且y≥0时，方程为

x2

16

-

y2

9

=1，即y=3

x2 16 -1

．
因此作出函数的图象，如图所示．
由图象可知函数在R上单调递减，所以①成立．
对于②由F（x）=4f（x）+3x=0得f（x）=-

3

4

x．
因为双曲线

x2

16

-

y2

9

=-1和

x2

16

-

y2

9

=1的渐近线为y=±

3

4

x，
所以函数y=f（x）与直线y=-

3

4

x无公共点，因此F（x）=4f（x）+3x不存在零点，可得②正确．
对于③，根据①所作的图象可知函数的值域为R，所以③正确．
对于④，若函数y=g（x）和y=f（x）的图象关于原点对称，
则用-x、-y分别代替x、y，可得-y=f（-x）就是y=g（x）表达式，可得g（x）=-f（-x），
则函数y=g（x）的图象是方程

x|x|

16

+

y|y|

9

=1确确定的曲线，
而不是方程

y|y|

16

+

x|x|

9

=1确确定的曲线，所以④错误．
故答案为：①②③

点评：本题给出含有绝对值的二次曲线，要我们判断并于曲线性质的几个命题的真假．着重考查了含有绝对值的函数式的化简、函数的图象与性质、直线与圆锥曲线位置关系等知识，属于中档题．