题目内容

9．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{2}x|，0＜x＜2}\\{sin（\frac{π}{4}x），2≤x≤10}\end{array}\right.$，若存在实数x1、x2、x3、x4满足，x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），则x1•x2•（x3-2）•（x4-2）的取值范围是（　　）
A．（4，16）B．（0，12）C．（9，21）D．（15，25）

分析 画出函数f（x）的图象，确定x1x2=1，x3+x4=12，2＜x3＜4，8＜x4＜10，利用一元二次函数的性质进行求解即可．

解答 解：当2≤x≤10，时，f（x）=sin$\frac{π}{4}$x，
则函数的图象如图，
则0＜x1＜1＜x2＜2＜x3＜x4，且x3，x4，关于x=6对称，
∵f（x1）=f（x2）
∴-log2x1=log2x2，
∴log2x1x2=0，
∴x1x2=1，
∵f（x3）=f（x4），
∴x3+x4=12，2＜x3＜x4＜10
∴x1x2（x3-2）（x4-2）=（x3-2）（x4-2）=x3x4-2（x3+x4）+4=x3x4-20，
∵2＜x3＜4，8＜x4＜10，x3+x4=12，
∴x3=-x4+12，
则x3x4=（12-x4）x4=-（x4）2+12x4=-（x4-6）2+36，
∵8＜x4＜10，
∴20＜x3x4＜32
则0＜x3x4-20＜12，
故选：B．

点评 本小题主要考查分段函数的解析式求法及其图象的作法、函数的值域的应用、函数与方程的综合运用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，难度较大．

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