Question

1．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，cos2A=cosA．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）当a=2$\sqrt{3}$，S_△ABC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{4\sqrt{3}}$时，求边c的值和△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得2cos²A-cosA-1=0，解得cosA的值，结合A的范围，即可得解A的值．
（Ⅱ）由已知及余弦定理化简可得$\sqrt{3}$sinC=cosC，由cosC≠0可求tanC，解得C，结合正弦定理求得c的值，进而求得sinB，利用三角形面积公式即可得解．（或由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$得b=2，由4$\sqrt{3}•$S_△ABC=a²+b²-c²得S_△ABC=$\sqrt{3}$）

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）由cos2A=cosA，得2cos²A-cosA-1=0，…（2分）
所以cosA=-$\frac{1}{2}$或cosA=1．…（4分）
因为0＜A＜π，所以cosA=-$\frac{1}{2}$，…（5分）
所以角A为$\frac{2π}{3}$，…（6分）
（Ⅱ）由4$\sqrt{3}•$S_△ABC=a²+b²-c²及S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC，
有2$\sqrt{3}$•absinC=a²+b²-c²即$\sqrt{3}$sinC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，…（7分）
由余弦定理有$\sqrt{3}$sinC=cosC，
显然cosC≠0有tanC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，…（8分）
∴C=$\frac{π}{6}$，…（9分）        
又由正弦定理有：$\frac{2\sqrt{3}}{sin\frac{2π}{3}}$=$\frac{c}{sin\frac{π}{6}}$，得c=2，…（10分）
又sinB=sin（$π-\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，…（11分）
所以△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\sqrt{3}$．                        …（12分）
（或由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$得b=2，由4$\sqrt{3}•$S_△ABC=a²+b²-c²得S_△ABC=$\sqrt{3}$）

点评 本题主要考查了余弦函数的图象和性质，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．