Question

如图,ABEDFC为多面体,平面ABED与平面ACFD垂直,点O在线段AD上,OA=1,OD=2,△OAB,△OAC,△ODE,△ODF都是正三角形.

(1)证明直线BC∥EF;
(2)求棱锥FOBED的体积.

Answer 1

（1）见解析  （2）

(1)证明:如图所示,设G是线段DA延长线与线段EB延长线的交点.由于△OAB与△ODE都是正三角形,且OD=2,

所以OBDE,
OG=OD=2.
同理,设G′是线段DA延长线与线段FC延长线的交点,有OCDF,OG′=OD=2.
又由于G和G′都在线段DA的延长线上,
所以G与G′重合.
在△GED和△GFD中,
由OBDE和OCDF,
可知B、C分别是GE和GF的中点,
所以BC是△GEF的中位线,故BC∥EF.
(2)解:由OB=1,OE=2,∠EOB=60°,
知S_△OBE=,
而△OED是边长为2的正三角形,
故S_△OED=.
所以S_{四边形OBED}=S_△OBE+S_△OED=.
过点F作FQ⊥AD,交AD于点Q,
由平面ABED⊥平面ACFD知,FQ就是四棱锥FOBED的高,且FQ=,
所以=FQ·S_{四边形OBED}=.