Question

16．设D为不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{y}{{t}^{2}}≤1}\\{（{t}^{2}+1）x-y≥-{t}^{2}}\\{x-2y≤1}\end{array}\right.$，表示的平面区域，其中t为常数且0＜t＜1，点B（m，n）为坐标平面xOy内一点，若对于区域D内的任一点A（x，y），都有$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$≤1成立，则m+n的最大值等于1．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，求出三角形顶点的坐标，由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$≤1得到关于m，n的不等式组，再作出可行域，由线性规划知识求得m+n的最大值．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{y}{{t}^{2}}≤1}\\{（{t}^{2}+1）x-y≥-{t}^{2}}\\{x-2y≤1}\end{array}\right.$作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{（{t}^{2}+1）x-y=-{t}^{2}}\\{x-2y=1}\end{array}\right.$，解得A₁（-1，-1），
由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$≤1，得mx+ny-1≤0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m-1≤0}\\{{t}^{2}n-1≤0}\\{m+n-1≤0}\end{array}\right.$，作出可行域如图，

令z=m+n，由图可知，m+n的最大值等于1．
故答案为：1．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法及数学转化思想方法，考查计算能力，难度较大．