Question

4．设数列{a_n}为等比数列，数列{b_n}满足b_n=na₁+（n-1）a₂+…+2a_n-1+a_n，n∈N^*，已知b₁=m，b₂=$\frac{3m}{2}$，其中m≠0．
（1）求数列{a_n}通项（用m表示）；
（2）设S_n为数列{a_n}的前n项和，若对于任意的正整数n，都有S_n∈[1，3]，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知b₁=a₁，所以a₁=m，b₂=2a₁+a₂，求出a₁，a₂然后根据公比的定义，即可求出数列{a_n}的首项和公比．
（2）由S_n为数列{a_n}的前n项和，及（1）的结论，我们可以给出S_n的表达式，再由S_n∈[1，3]，我们可以构造一个关于m的不等式，解不等式，即可得到实数m的取值范围．在解答过程中要注意对n的分类讨论．

解答 解：（1）由已知b₁=a₁，所以a₁=m，b₂=2a₁+a₂，所以$2{a_1}+{a_2}=\frac{3}{2}m$，
解得${a_2}=-\frac{m}{2}$，所以数列{a_n}的公比$q=-\frac{1}{2}$．
所以${a_n}=m{（-\frac{1}{2}）^{n-1}}$
（2）${S_n}=\frac{{m[1-{{（-\frac{1}{2}）}^n}]}}{{1-（-\frac{1}{2}）}}=\frac{2m}{3}•[1-{（-\frac{1}{2}）^n}]$，
因为$1-{（-\frac{1}{2}）^n}＞0$，所以，由S_n∈[1，3]得$\frac{1}{{1-{{（-\frac{1}{2}）}^n}}}≤\frac{2m}{3}≤\frac{3}{{1-{{（-\frac{1}{2}）}^n}}}$，
注意到，当n为奇数时$1-{（-\frac{1}{2}）^n}∈（1，\frac{3}{2}]$，当n为偶数时$1-{（-\frac{1}{2}）^n}∈[\frac{3}{4}，1）$，
所以$1-{（-\frac{1}{2}）^n}$最大值为$\frac{3}{2}$，最小值为$\frac{3}{4}$．
对于任意的正整数n都有$\frac{1}{{1-{{（-\frac{1}{2}）}^n}}}≤\frac{2m}{3}≤\frac{3}{{1-{{（-\frac{1}{2}）}^n}}}$，
所以$\frac{4}{3}≤\frac{2m}{3}≤2$，2≤m≤3．
即所求实数m的取值范围是{m|2≤m≤3}．

点评 本题考查等比数列的通项与求和，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．