题目内容
（本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足
an+2Sn·Sn－1=0（n≥2），a1=
．
（1）求证：{
}是等差数列；
（2）求an表达式；
（3）若bn=2（1－n）an（n≥2），求证：b22+b32+…+bn2<1．
an+2Sn·Sn－1=0（n≥2），a1=
．（1）求证：{
}是等差数列；（2）求an表达式；
（3）若bn=2（1－n）an（n≥2），求证：b22+b32+…+bn2<1．
【解】（1）∵－an=2SnSn－1，∴－Sn+Sn－1=2SnSn－1（n≥2）
Sn≠0，∴
－
=2，又
=
=2，∴{}是以2为首项，公差为2的等差数列．
（2）由（1）=2+（n
－1）2=2n，∴Sn=
当n≥2时，an=Sn－Sn－1=－
n=1时，a1=S1=，∴an=
（3）由（2）知bn=2（1－n）an=
∴b22+b32+…+bn2=
+
+…+
<
+
+…+
=（1－）+
（－
）+…+（
－）=1－<1．
Sn≠0，∴
－=2，又==2，∴{}是以2为首项，公差为2的等差数列．（2）由（1）
=2+（n－1）2=2n，∴Sn=当n≥2时，an=Sn－Sn－1=－
n=1时，a1=S1=
，∴an=（3）由（2）知bn=2（1－n）an=
∴b22+b32+…+bn2=
++…+<++…+=（1－
）+（－）+…+（－）=1－<1．略
练习册系列答案
相关题目
和
为公差的等差数列
和
满足
, 
，
, 
，求
的取值范围；
，且数列
…的前
项和
满足
，
，
, 
>0且
，探究不等式
是否对一切正整数
的前
项和为
，若
,则
的值是 
满足
，
；(2)判断20是不是这个数列的项，并说明理由； (3)求这个数列前n项的和
。
中，
（ ）
的前
项和为
，若
，则
的最大值为___________.
，
中已知
，
，求数列
，则公差
（ ）
中，已知
，那么
（ ）
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