Question

【题目】已知函数，.

（1）证明：不等式在恒成立；

（2）证明：在存在两个极值点，

附：，，.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；

【解析】

（1），首先利用导数证明当时，总有，然后可得

（2）分和两种情况讨论，每种情况都要用导数求出的单调性.

（1），

设，易得在上为增函数，

又，，

∴存在唯一，使得，

∴在时，，为减函数，，

在时，，为增函数，，

因此时，总有，为减函数.

∴，从而原不等式得证.

（2），则，

在时，令，

则在上递增.

又，.

∴存在唯一，使.

在时，，为减函数，即为减函数，

在时，，为增函数，即为增函数，

而，.

又，存在唯一的使得，

∴在时，，为减函数，

在时，，为增函数，故为一个极小值点.

另一方面，在时，由，

而，∴，

由（1）可知，∴在上恒成立，

又在上恒成立，∴是的极大值点，从而得证.