Question

【题目】已知正项数列的首项,其前项和为,且与的等比中项是,数列满足：.

(1)求,并求数列的通项公式；

(2)记,,证明：.

Answer 1

【答案】(1),,. (2)见解析

【解析】

(1)由题可得,再根据通项与前项和的关系求得递推公式,再根据的值求解通项即可.

(2)根据通项与前项和的关系求出的通项公式,再代入可得再利用裂项放缩法或者利用数学归纳法证明即可.

(1)依题意,

由,得,.

于是有,,两式相减可得.

约去正项可得.

又,,所以是以1为首项,1为公差的等差数列.

故.

(2)依题意,

当时,,

两式相减即得.

另外亦符合上式,所以.

证一：

所以.

证二：（1）时命题成立.

（2）假设时命题成立,即

那么

即当时命题也成立.

综合（1）（2）对任意命题均成立.