Question

【题目】已知函数f(x)＝(2x－4)ex＋a(x＋2)2(x>0，a∈R，e是自然对数的底数)．
（1）若f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数，求实数a的取值范围；
（2）当a∈ 时，证明：函数f(x)有最小值，并求函数f(x)的最小值的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′(x)＝2ex＋(2x－4)ex＋2a(x＋2)＝(2x－2)ex＋2a(x＋2)，依题意，当x>0时，函数f′(x)≥0恒成立，即a≥－ 恒成立，记g(x)＝－ ，则g′(x)＝－ ＝－ <0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以g(x)<g(0)＝ ，所以a≥ .
故a的取值范围为 .

（2）解：因为[f′(x)]′＝2xex＋2a>0，所以y＝f′(x)是(0，＋∞)上的增函数，又f′(0)＝4a－2<0，f′(1)＝6a>0，所以存在t∈(0,1)使得f′(t)＝0，
又当x∈(0，t)时，f′(x)<0，当x∈(t，＋∞)时，f′(x)>0，
所以当x＝t时，f(x)min＝f(t)＝(2t－4)et＋a(t＋2)2.且有f′(t)＝0a＝－ ，
则f(x)min＝f(t)＝(2t－4)et－(t－1)(t＋2)et＝et(－t2＋t－2)，t∈(0,1)．
记h(t)＝et(－t2＋t－2)，则h′(t)＝et(－t2＋t－2)＋et(－2t＋1)＝et(－t2－t－1)<0，
所以h(1)<h(t)<h(0)，
即f(x)的最小值的取值范围是(－2e，－2)．
【解析】(1)首先求出原函数的导函数，再根据导函数的正负情况即可得出原函数的增减性，利用增减性的定义即可求出a的值。(2)根据函数的单调性求出f(x) 的最小值，从而求出最小值的取值范围。