Question

20．已知数列{a_n}的相邻两项a_n，a_n+1是关于x的方程x²-2ⁿx+A=0的两根，且a₁=1．
（1）求证：数列$\{{a_n}-\frac{1}{3}•{2^n}\}$是等比数列；
（2）若${b_n}={log_2}[3{a_n}+{（-1）^n}]$，证明：对一切正整数n，有$\frac{1}{{{b_1}（{b_1}+2）}}+\frac{1}{{{b_2}（{b_2}+2）}}+…+$$\frac{1}{{{b_n}（{b_n}+2）}}＜\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）利用a_n，a_n+1是关于x的方程x²-2ⁿ•x+A=0（n∈N^*）的两实根，可得a_n+a_n+1=2ⁿ，整理变形可得数列{a_n-$\frac{1}{3}$x2ⁿ}是等比数列；
（2）根据对数的运算性质和裂项求和和放缩法即可证明．

解答 解：（Ⅰ）∵a_n，a_n+1是关于x的方程x²-2ⁿx+A=0，（n∈N^*）的两根，∴a_n+a_n+1=2ⁿ，
∴a_n+1-$\frac{1}{3}$×2ⁿ⁺¹=-（a_n-${\;}^{\frac{1}{3}}$•2ⁿ），
∵a₁=1，
∴a₁-${\;}^{\frac{1}{3}}$•2¹=$\frac{1}{3}$
∴{a_n-${\;}^{\frac{1}{3}}$•2ⁿ}是$\frac{1}{3}$为首项，以-1为等比的等比数列；
（2）证明：由（1）可得a_n-${\;}^{\frac{1}{3}}$•2ⁿ=$\frac{1}{3}$（-1）^n-1，
∴a_n=$\frac{1}{3}$[2n-（-1）ⁿ]，
∴3a_n+（-1）ⁿ]=2ⁿ，
∴b_n=n，
∴$\frac{1}{{b}_{n}（{b}_{n}+2）}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
∴$\frac{1}{{{b_1}（{b_1}+2）}}+\frac{1}{{{b_2}（{b_2}+2）}}+…+$$\frac{1}{{b}_{n}（{b}_{n}+2）}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）＜$\frac{3}{4}$．

点评 本题主要考查等比关系的确定、数列的求和等基础知识，考查运算求解能力．属于中档题．