Question

12．已知m∈R，$\overrightarrow{a}$=（-1，x²+m），$\overrightarrow{b}$=（m+1，$\frac{1}{x}$），
（1）$\overrightarrow{c}$=（-m，$\frac{x}{x+m}$），当m=-1时，求使不等式|$\overrightarrow a$•$\overrightarrow c$|≤1成立的x的取值范围；
（2）求使不等式$\overrightarrow a•\overrightarrow b$≥0成立的x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）m=-1时，可求出$\overrightarrow{a}=（-1，{x}^{2}-1），\overrightarrow{c}=（1，\frac{x}{x-1}）$，进而求出数量积$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$，从而得到不等式|x²+x-1|≤1，解该不等式即可得出x的取值范围；
（2）进行数量积的坐标运算可得出不等式$\frac{（x-1）（x-m）}{x}≥0$，讨论m的值，解该分式不等式即可得出x的取值范围．

解答 解：（1）当m=-1时，$\overrightarrow{a}=（-1，{x}^{2}-1），\overrightarrow{c}=（1，\frac{x}{x-1}）$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}=-1+x（x+1）={x}^{2}+x-1$；
∴由$|\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}|≤1$得：|x²+x-1|≤1；
∴-1≤x²+x-1≤1；
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x≥0}\\{{x}^{2}+x-2≤0}\\{x≠1}\end{array}\right.$；
解得-2≤x≤-1，或0≤x＜1；
∴当m=-1时，使不等式$|\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}|≤1$成立的x的取值范围是[-2，-1]∪[0，1）；
（2）∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=-（m+1）+\frac{{x}^{2}+m}{x}$=$\frac{{x}^{2}-（m+1）x+m}{x}=\frac{（x-1）（x-m）}{x}$≥0①；
∴当m＜0时，不等式①的解集为：[m，0）∪[1，+∞）；
当m=0时，解集为：[1，+∞）；
当0＜m＜1时，解集为：（0，m]∪[1，+∞）；
当m=1时，解集为：[1，+∞）；
当m＞1时，解集为：（0，1]∪[m，+∞）．

点评 考查数量积的坐标运算，含绝对值不等式的解法，一元二次不等式的解法，以及分式不等式的解法．