Question

【题目】设直线与直线分别与椭圆交于点，且四边形的面积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点的动直线与椭圆相交于，两点，是否存在经过原点，且以为直径的圆？若有，请求出圆的方程，若没有，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，圆的方程为.

【解析】

（1）根据两条直线解析式特征可知直线与直线关于坐标轴对称，则为矩形，将与椭圆方程联立，表示出交点的横纵坐标，即可由四边形的面积确定参数，求得椭圆的方程；

（2）设直线的方程，两个交点坐标.联立椭圆方程后化简，用韦达定理表示出，经过原点，且以为直径的圆满足，即，由平面向量数量积的坐标运算代入即可求得斜率.由中点坐标公式即可求得线段中点的坐标，进而求得的值，即可得圆的标准方程.

（1）由题意可知直线与直线关于坐标轴对称，所以四边形为矩形，

则，解得

所以，

解得，

代入椭圆方程可得.

（2）存在.

设，由题意可知直线的斜率必然存在.

直线过点，设直线的方程为，

则，化简可得，

所以，

经过原点，且以为直径的圆满足，即，

则

，

解方程可得，经检验可知都满足.

设线段的中点为.

则

所以，

所以存在满足条件的圆，圆的方程为.