Question

【题目】已知函数．

（Ⅰ）求函数的极值；

（Ⅱ）当时，恒成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）对函数求导，根据讨论的取值及的单调性，从而得到函数的极值；

（Ⅱ）根据当时，恒成立，转化为恒成立，再构造函数，利用导数及函数的单调性讨论的范围求最值得到答案．

（Ⅰ）函数的定义域为．

当时，恒成立，所以在上单调递增，则函数无极值；

当时，令，则，

故当时，，当时，，

从而在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，函数取得极小值，无极大值；

综上可知，当时，函数无极值；

当时，函数有极小值，无极大值．

（Ⅱ）当，恒成立，即恒成立，

即恒成立，令,

则恒成立，即，

则必有成立，即．

，

令，则，可知，

由知，当时，，

可知时，，时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

故，

所以只需，即，故；

当时，，可知）时，，

时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

故，只需，

即成立，即．

综上可知，的取值范围为．