Question

【题目】圆过椭圆的下顶点及左、右焦点，，过椭圆的左焦点的直线与椭圆相交于，两点，线段的中垂线交轴于点且垂足为点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）证明：当直线斜率变化时为定值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析

【解析】

（Ⅰ）椭圆的标准方程的确定应明确其特征点（长轴、短轴的端点，焦点）的位置及特征量之间的关系；

（Ⅱ）圆锥曲线的定点定值问题，需要注意相关图形与量的特征，由弦所在直线互相垂直及弦过椭圆的焦点等特征，充分利用这些特征简化运算．

解：（Ⅰ）当时，由得或；

当时，由得．

又圆过椭圆的下顶点及焦点，，

故，，所以，

即椭圆的方程为．

（Ⅱ）证明：易知直线的斜率存在，且不为0，

所以设直线，且，，

由，得，

故，，

设的中点，

，，

故的中垂线的方程为

，

由得，，

故，

，

因此，为定值．