Question

【题目】已知正项数列满足： ， .为数列的前项和.

（Ⅰ）求证：对任意正整数，有；

（Ⅱ）设数列的前项和为，求证：对任意，总存在正整数，使得时， .

Answer 1

【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)证明见解析.

【解析】试题分析：

(I)分类讨论和两种情况，结合裂项求和即可证得题中的结论；

(II)结合(I)的结论的结论可知数列是单调递增数列，构造函数，该函数在区间上单调递增，然后结合数列的性质即可证得题中的结论.

试题解析：

（Ⅰ）证法一：因为，

∴时， ，

∴ ，即，

当时， ，综上， .

证法二：考虑到数列的前项和为，猜想，

当时，结论显然成立.假设时， 成立，

则当时，由，得

，结论成立.

综上：对任意，有，

以下同解法一.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知

.因为在区间上单调递增，

所以，

从而 ，

当时， ， ，

所以 ，

令

设为不小于的最小整数，取 (即)，

当时， .