Question

8．已知a＞0，设P：函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²+ax在（-∞，+∞）上单调递增，Q：log₂（2a-a²+$\frac{1}{4}$）＞0，若命题P∧Q为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 若P为真．由题意知f′（x）=x²+2ax+a≥0对任意实数恒成立，可得△≤0．若Q为真，根据题意知2a-a²+$\frac{1}{4}$＞1，化为4a²-8a+3＜0，解得a范围．求出P∧Q为真命题时a的取值范围，进而得出P∧Q为假的命题．

解答 解：若P为真．由题意知f′（x）=x²+2ax+a≥0对任意实数恒成立，
∴△=4a²-4a≤0，解得0≤a≤1，由a＞0，∴0＜a≤1．
若Q为真，根据题意知2a-a²+$\frac{1}{4}$＞1，化为4a²-8a+3＜0，解得$\frac{1}{2}＜a＜\frac{3}{2}$．
若P∧Q为真命题，则$\frac{1}{2}＜a≤1$，
∵已知P∧Q为假，∴$0＜a≤\frac{1}{2}$或a＞1．
∴实数a的取值范围是$0＜a≤\frac{1}{2}$或a＞1．

点评 本题考查了函数的单调性与导数的关系、一元二次不等式的解集与判别式的关系、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．