Question

已知点A（-3，0），B（3，0），M是直线l：x-y+9=0上任意一点，在l上存在一点P，使|PA|+|PB|≤|MA|+|MB|恒成立，则点P的坐标为

 

．

Answer 1

考点：两点间距离公式的应用,点到直线的距离公式

专题：直线与圆

分析：法一：设点A关于直线l的对称点为A′（a，b），则

b a+3 =-1 -3+a 2 - b 2 +9=0

，解得a=-9，b=6．可得直线A′B的方程为x+2y-3=0，与x-y+9联立解得即可．
法二：设M（x，y），由|MA|+|MB|＞|AB|，可得点M满足

x2

b+9

+

y2

b

=1，（b＞0）．与直线方程联立可得（2b+9）x²+18（b+9）x+（b+9）（81-b）=0，
令△=0，解得b，求得切点即可．

解答： 解：法一：设点A关于直线l的对称点为A′（a，b），则

b a+3 =-1 -3+a 2 - b 2 +9=0

，解得a=-9，b=6．
∴A′（-9，6），
∴直线A′B的方程为：y=

6-0

-9-3

（x-3），即x+2y-3=0，
联立

x+2y-3=0 x-y+9=0

，解得x=-5，y=4．
∴P（-5，4）．
可得点P满足：|PA|+|PB|≤|MA|+|MB|恒成立，
法二：设M（x，y），∵|MA|+|MB|＞|AB|，可得点M满足

x2

b+9

+

y2

b

=1，（b＞0）．
联立

x2 b+9 + y2 b =1 x-y+9=0

，
化为（2b+9）x²+18（b+9）x+（b+9）（81-b）=0，
令△=0，解得b=36，
∴81x²+18×45x+45²=0，
解得x=-5，
代入x-y+9=0，解得y=4．
∴P（-5，4）．
故答案为：（-5，4）．

点评：本题考查了在直线上求得一点到直线同侧两点的距离之和求得最小值问题的两种方法、对称问题、直线与椭圆相切问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．