Question

3．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=4-2t}\\{y=t-2}\end{array}\right.$（t为参数），P是椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上任意一点，则点P到直线l的距离的最大值为（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
• B． $\frac{2\sqrt{10}}{5}$
• C． 2
• D． 5

Answer 1

分析 直线l的参数方程消去参数t，得直线l的普通方程为：x+2y=0，设P（2cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），由此能求出点P到直线l的距离的最大值．

解答 解：直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=4-2t}\\{y=t-2}\end{array}\right.$消去参数t，得直线l的普通方程为：x+2y=0，
∵P是椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上任意一点，∴设P（2cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），
点P到直线l的距离：
d=$\frac{|2cosθ+2sinθ|}{\sqrt{1+4}}$=$\frac{|2\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）|}{\sqrt{5}}$，
∴当sin（$θ+\frac{π}{4}$）=1时，点P到直线l的距离取最大值d_max=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．
故选：B．

点评 本题考查点到直线的距离的最大值的求法，考查参数方程、平面直角坐标方程、点到直线距离公式、三角函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．