Question

在平面直角坐标系xOy中，以曲线ξ：x²-y²=m²（m，x＞0）的焦距为直径，以原点O为圆心作⊙O，⊙O交ξ于A，B两点，则由直线OA，OB与曲线ξ围成的封闭图形的面积为

 

．

Answer 1

考点：定积分在求面积中的应用

专题：计算题,作图题,导数的综合应用

分析：联立ξ与圆的方程得

x2-y2=m2 x2+y2=2m2

；从而可判断△OAB为正三角形，而渐近线相互垂直的双曲线可以转换为反比例函数，即x²-y²=m²可化为xy=

m2

2

；从而求得A（

m

2

（

3

-1），

m

2

（

3

+1）），B（

m

2

（

3

+1），

m

2

（

3

-1））；由直线OA，OB与曲线ξ围成的封闭图形的面积等于曲边梯形ADBE的面积；从而利用定积分求解．

解答： 解：圆O的半径r即为双曲线的半焦距长r=

2

m；
联立ξ与圆的方程：

x2-y2=m2 x2+y2=2m2

；
即k_OA=

yA

xA

=

3

3

；
∴∠AOB=60°；
故△OAB为正三角形，
而渐近线相互垂直的双曲线可以转换为反比例函数：
即x²-y²=m²可化为xy=

m2

2

；
sin15°=

2

4

（

3

+1）；
故A（

m

2

（

3

-1），

m

2

（

3

+1）），B（

m

2

（

3

+1），

m

2

（

3

-1））；

故S_△OAD=

1

2

•

m

2

（

3

-1）•

m

2

（

3

+1））=

m2

4

，
S_△OBE=

m2

4

；
S_△OAD-S_△OCD=S_△OBE-S_△OCD；
故S_△OAC=S_梯形BCDE；
故由直线OA，OB与曲线ξ围成的封闭图形的面积等于曲边梯形ADBE的面积；
即S=

∫

xB xA

1

x

dx=ln

m

2

（

3

+1）-ln

m

2

（

3

-1）=ln

3 +1

3 -1

=ln（2+

3

）．
故答案为：ln（2+

3

）．

点评：本题考查了学生的作图能力及定积分的综合应用，属于基础题．