Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点分别为F₁、F₂、A、B为其左、右两个顶点，以线段F₁F₂为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，且∠MAB=30°，则该双曲线的离心率为（　　）

• A、

  21

  2

• B、

  21

  3

• C、

  19

  3

• D、

  19

  2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出双曲线的渐近线方程和圆的方程，求出交点M，再由两点的斜率公式，得到a，b的关系，再由离心率公式即可得到所求值．

解答： 解：双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的渐近线方程为y=±

b

a

x，
以F₁F₂为直径的圆的方程为x²+y²=c²，
将直线y=

b

a

x代入圆的方程，可得，
x=

ac

a2+b2

=a（负的舍去），y=b，
即有M（a，b），又A（-a，0），
由于∠MAB=30°，则直线AM的斜率为k=

3

3

，
又k=

b

2a

，则3b²=4a²=3（c²-a²），
即有3c²=7a²，
则离心率e=

c

a

=

21

3

．
故选B．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查直线和圆的位置关系，直线的斜率公式，考查离心率的求法，属于基础题．