Question

14．已知数列{a_n}，{b_n}，其中a₁=l，a_n=$\frac{1}{b_n}+\frac{1}{2}$，$\frac{4}{{{b_{n+1}}{b_n}}}=\frac{6}{{{b_{n+1}}}}-\frac{3}{b_n}$，（n∈N^* ）
（1）求证：数列{b_n-$\frac{4}{3}$}是等比数列；
（2）求数列{b_n}的通项公式及数列{a_nb_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）对$\frac{4}{{{b_{n+1}}{b_n}}}=\frac{6}{{{b_{n+1}}}}-\frac{3}{b_n}$通分，移项得出b_n+1-$\frac{4}{3}$的值，观察等式左右两侧的关系得出；
（2）根据（1）的结果得出b_n，求出{a_nb_n}的通项公式，根据通项公式的特点进行求和．

解答 （1）证明：∵$\frac{4}{{{b_{n+1}}{b_n}}}=\frac{6}{{{b_{n+1}}}}-\frac{3}{b_n}$，即${b_{n+1}}=2{b_n}-\frac{4}{3}$，∴${b_{n+1}}-\frac{4}{3}=2（{b_n}-\frac{4}{3}）$，
∵a_n=$\frac{1}{b_n}+\frac{1}{2}$，∴1=$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{2}$，解得b₁=2．
又${b_1}-\frac{4}{3}=\frac{2}{3}$≠0所以{b_n-$\frac{4}{3}$}是以$\frac{2}{3}$为首项，以2为公比的等比数列．
（2）解：由（1）知b_n-$\frac{4}{3}$=$\frac{2}{3}$•2^n-1=$\frac{{2}^{n}}{3}$，∴b_n=$\frac{{2}^{n}+4}{3}$．
∵${a_n}=\frac{1}{b_n}+\frac{1}{2}$，∴${a_n}{b_n}=\frac{1}{2}{b_n}+1$，
∴S_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{2}{3}$+$\frac{{2}^{2}}{3}$+$\frac{{2}^{3}}{3}$+…+$\frac{{2}^{n}}{3}$）+$\frac{2n}{3}$+n=$\frac{\frac{1}{3}（1-{2}^{n}）}{1-2}$+$\frac{5n}{3}$=$\frac{1}{3}（{2^n}+5n-1）$．

点评 本题考查了等比关系的判断，通项公式，数列求和，属于中档题．