设甲乙两地相距100海里.船从甲地匀速驶到乙地.已知某船的最大船速是36海里/时:当船速不大于每小时30海里/时.船每小时使用的燃料费用和船速成正比,当船速不小于每小时30海里/时.船每小时使用的燃料费用和船速的平方成正比,当船速为30海里/时.它每小时使用的燃料费用为300元,其余费用都是每小时480元,(1)试把每小时使用的燃� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．设甲乙两地相距100海里，船从甲地匀速驶到乙地，已知某船的最大船速是36海里/时：当船速不大于每小时30海里/时，船每小时使用的燃料费用和船速成正比；当船速不小于每小时30海里/时，船每小时使用的燃料费用和船速的平方成正比；当船速为30海里/时，它每小时使用的燃料费用为300元；其余费用（不论船速为多少）都是每小时480元；
（1）试把每小时使用的燃料费用P（元）表示成船速v（海里/时）的函数；
（2）试把船从甲地行驶到乙地所需要的总费用Y表示成船速v的函数；
（3）当船速为每小时多少海里时，船从甲地到乙地所需要的总费用最少？

分析（1）分类讨论，当0＜v≤30时，设P=kv，从而解得P=10v；再求当30≤v≤36时的解析式即可；
（2）分类讨论求总费用Y的值，从而利用分段函数写出即可；
（3）由分段函数讨论以确定函数的单调性，从而由单调性求最小值即可．

解答解：（1）由题意，当0＜v≤30时，设P=kv，
由300=30k解得，k=10；
故P=10v，
当30≤v≤36时，设P=mv²，
由300=30²m解得，m=$\frac{1}{3}$；
故P=$\left\{\begin{array}{l}{10v，0＜v≤30}\\{\frac{1}{3}{v}^{2}，30＜v≤36}\end{array}\right.$；
（2）当0＜v≤30时，
Y=（10v+480）$\frac{100}{v}$=1000+$\frac{48000}{v}$，
当30≤v≤36时，
Y=（$\frac{1}{3}$v²+480）•$\frac{100}{v}$=$\frac{100}{3}$v+$\frac{48000}{v}$；
故Y=$\left\{\begin{array}{l}{1000+\frac{48000}{v}，0＜v≤30}\\{\frac{100}{3}v+\frac{48000}{v}，30＜v≤36}\end{array}\right.$；
（3）当0＜v≤30时，Y=1000+$\frac{48000}{v}$是减函数，
当30≤v≤36时，Y=$\frac{100}{3}$v+$\frac{48000}{v}$在[30，36]上是减函数；
故Y在（0，36]上是减函数，
故当x=36时，Y有最小值为$\frac{100}{3}$×36+$\frac{48000}{36}$=$\frac{7600}{3}$（元）．