Question

【题目】已知函数.

（1）当时，讨论极值点的个数；

（2）若函数有两个零点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）极大值点，且是唯一极值点；（2）

【解析】

（1）将代入，求导得到在上单调递减，则在上存在唯一零点，进而可判断出是的极大值点，且是唯一极值点；
（2）令，得到，则与的图象在上有2个交点，利用导数，数形结合即可得到的取值范围.

解：（1）由知.

当时，，，显然在上单调递减.

又，，

∴在上存在零点，且是唯一零点，

当时，；

当时，，

∴是的极大值点，且是唯一极值点.

（2）令，则.

令，，

则和的图象在上有两个交点，

.

令，则，

所以在上单调递减，而，

故当时，，即，单调递增；

当时，，即，单调递减.

故.

又，当且时，且，

结合图象，可知若和的图象在上有两个交点，只需，

所以的取值范围为.