Question

【题目】已知若干个长方体盒子，其棱长均为不大于正奇数的正整数（允许三棱长相同），且盒壁厚度忽略不计，每个盒子的三组对面分别染为红、蓝、黄三色，若没有一个盒子能以同色面平行的方式装入另一个盒子中，则称这些盒子是“和谐的”，求最多有多少个和谐盒子？

Answer 1

【答案】

【解析】

设和谐盒子最多有个，在空间直角坐标系中，坐标面，，分别染为红、蓝、黄三色，将上述盒子放入坐标系中，使其共顶点的三面分别放入同色的坐标面中，则每个盒子与一个整数有序数组一一对应，其中，、、、，、、.从而，和谐盒子集合对应一个空间直角坐标系中的点集，，满足对于任意中的两点，，有， ①其中，.

设，其中，，令，.显然，中任意两点至多有一个分量相同，即，且对任意，，有. ②

将中各元按分量的大小排序，记为，其中，.由式①知.故，如图，在坐标平面内记，，其中，，，，.从而，式②等价于. ③

对于，若，则将所有中的点并入中，将新集合记为，则仍满足式③，对继续上述调整，直至，此时，仍记为，将各点依次连成一条折线，则所有组成中互不相交条折线，故 ，当，即时，上式等号成立.

综上，和谐盒子至多有个.