Question

【题目】如图，在三棱锥中，，．，分别是，的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面平面；

（Ⅲ）在图中作出点在底面的正投影，并说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析.

【解析】

（Ⅰ）利用三角形中位线定理和线面平行的判定定理可以证明出平面；

（Ⅱ）利用等腰三角形三线合一的性质，可以证明线线垂直，根据线面垂直的判定定理，可以证明出线面垂直，最后根据面面垂直的判定定理，可以证明出平面平面；

（Ⅲ）通过面面垂直的性质定理，可以在△中，过作于即可.

（Ⅰ）证明：因为，分别是，的中点，

所以．

因为平面，

所以平面．

（Ⅱ）证明：因为，，是的中点，

所以，．

所以平面．

所以平面平面．

（Ⅲ）解：在△中，过作于，则点为点在底面的正投影．

理由如下：

由（Ⅱ）知平面平面，且平面平面，

又平面，，

所以平面，

即点为点在底面的正投影．