Question

【题目】如图所示，在四棱锥中，平面平面，底面是正方形，且， .

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）.

【解析】试题分析：

(Ⅰ)利用面面垂直的性质定理可得平面.据此有，结合可得平面.最后利用面面垂直的判定定理可得平面平面.

(Ⅱ)取的中点为， 的中点为，连接，以的方向分别为轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系，据此可得平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，据此计算可得二面角的余弦值为.

法2：若以为原点，建立空间直角坐标，则面的法向量面的法向量，计算可得为钝角，则余弦值为.

试题解析：

（Ⅰ）证明：∵底面为正方形，∴.

又∵平面平面，∴平面.

又∵平面，∴.

∵， ，∴平面.

∵平面，∴平面平面.

（Ⅱ）取的中点为， 的中点为，连接

易得底面，

以为原点，以的方向分别为轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，不妨设正方形的边长为2，可得， ， ，

设平面的一个法向量为

而，

即

取得

设平面的一个法向量为

而，

则即取得

由图知所求二面角为钝角

故二面角的余弦值为.

法2：若以为原点，建立空间直角坐标，如图，

不妨设正方形的边长为2

可得面的法向量

面的法向量

由图可得为钝角

∴余弦值为.