Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）若曲线在处的切线与直线垂直，求直线的方程；

（Ⅱ）当时，且，证明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见证明

【解析】

（Ⅰ）根据导数的几何意义求出参数，再根据点斜式方程得到直线的方程．（Ⅱ）由题意得函数在上单调递减，在上单调递增，且当时，．不妨设，此时．故要证，只需证，只需证，然后构造函数，可证得时，单调递减，进而可得结论成立．

（Ⅰ）解：∵，

∴，

∴，

∵切线与直线垂直，

∴，故．

∴，

∴直线方程为，即．

（Ⅱ）证明：

由（Ⅰ）知，

∴当时，；当时， ．

∴函数在上单调递减，在上单调递增．

又，

∴当时，．

根据题意不妨设，此时，

故要证，

只需证，

只需证．

因为，故 只需证．

设，

则，

∴当时，单调递减，

∴时，，

即，

∴当时，，

∴，

∴，

又函数在上单调递增，

∴，

∴．