Question

设M是椭圆上一点，F₁，F₂为焦点，如果∠MF₁F₂=75°，∠MF₂F₁=15°，求椭圆的离心率．

Answer 1

【答案】分析：根据题意，△MF₁F₂是以F₁F₂为斜边的直角三角形．利用直角三角形三角函数的定义，可得=，最后结合椭圆的定义和离心率的公式，可求出椭圆的离心率．
解答：解：∵△MF₁F₂中，∠MF₁F₂=75°，∠MF₂F₁=15°，
∴∠F₁MF₂=90°，即△MF₁F₂是以F₁F₂为斜边的直角三角形．
∵M是椭圆上一点，
∴|MF₁|+|MF₂|=2a，|F₁F₂|=2c
∵Rt△MF₁F₂中，sin∠MF₁F₂==，sin∠MF₂F₁==
∴+=，即=
因此椭圆的离心率e==
点评：本题给出椭圆上一点与椭圆两焦点构成锐角为15度的直角三角形，求椭圆的离心率，着重考查了椭圆的定义与基本概念和三角函数的定义等知识，属于基础题．