Question

已知椭圆的标准方程为，且c=1，如果直线：3x-2y=0与椭圆的交点在x轴上的射影恰为椭圆的焦点，
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆在第一象限内的交点为P，F是椭圆的右焦点，若直线4x+3y+m=0与以PF为直径的圆相切，求实数m的值；
（3）设M是椭圆上任意一点，F是椭圆的一个焦点，试探究以椭圆长轴为直径的圆O与以MF为直径的圆的位置关系。

Answer 1

解：（1）直线3x-2y=0 与椭圆的一个交点的坐标为，
代入椭圆方程得：，  
又c=1，，
解得：a=2，，
所以，椭圆的标准方程为。
（2）由（1）知，F（1，0），
则以PF为直径的圆的方程为，
圆心坐标为，半径为；
当直线4x+3y+m=0与圆相切时，
则，解得m=-10或；    
（3）设F′是椭圆的另一个焦点，则有，
以MF为直径的圆的圆心为N，半径为，
又圆O的半径为a，
所以两圆圆心之间的距离是，故两圆内切。