Question

点A、B分别是椭圆

x2

36

+

y2

20

=1长轴的左、右焦点，点F是椭圆的右焦点．点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF．
（1）求P点的坐标；
（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．

Answer 1

分析：（1）先求出PA、F的坐标，设出P的坐标，求出

AP

、

FP

的坐标，由题意可得

x2 36 + y2 20 =1 (x+6)(x-4)+y2=0

，且y＞0，
解方程组求得点P的坐标．
（2）求出直线AP的方程，设点M的坐标，由M到直线AP的距离等于|MB|，求出点M的坐标，再求出椭圆上的点到点M的
距离d的平方得解析式，配方求得最小值．

解答：解：（1）由已知可得点A（-6，0），F（4，0），设点P（x，y），则

AP

=（x+6，y），

FP

=（x-4，y）．
由已知可得

x2 36 + y2 20 =1 (x+6)(x-4)+y2=0

，2x²+9x-18=0，解得x=

3

2

，或x=-6．
由于y＞0，只能x=

3

2

，于是y=

5 3

2

．∴点P的坐标是（

3

2

，

5 3

2

）．
（2）直线AP的方程是 

y-0

5 3 2 -0

=

x+6

3 2 +6

，即 x-

3

y+6=0．  
设点M（m，0），则M到直线AP的距离是

|m+6|

2

．
于是

|m+6|

2

=|6-m|，又-6≤m≤6，解得m=2，故点M（2，0）．
设椭圆上的点（x，y）到点M的距离为d，有 d²=（x-2）²+y² =x²-4x+4+20-

5

9

x² =

4

9

（x-

9

2

）²+15，
∴当x=

9

2

时，d取得最小值

15

．

点评：本题考查椭圆的简单性质和点到直线的距离公式，两个向量垂直的性质，求出点M的坐标，是解题的难点．