Question

9．平面直角坐标系xOy中，已知圆x²+y²-2y=0，圆心F为抛物线y=$\frac{1}{2p}$x²的焦点，直线l经过点F与抛物线交于A，B两点，|AB|=5．
（I）求AB中点的纵坐标；
（Ⅱ）将圆F沿y轴向下平移一个单位得到圆N，过抛物线上一点M（2$\sqrt{2}$，m）作圆N的切线，切点分别为C，D，求直线CD的方程和△OCD的面积．

Answer 1

分析 （I）圆x²+y²-2y=0，配方为x²+（y-1）²=1，圆心F（0，1）为抛物线y=$\frac{1}{2p}$x²的焦点，可得$\frac{p}{2}$=1，可得抛物线方程．直线l经过点F与抛物线交于A，B两点，|AB|=5．可得5=y_A+y_B+p，利用中点坐标公式可得线段AB中点的纵坐标=$\frac{{y}_{A}+{y}_{B}}{2}$．
（II）将圆F沿y轴向下平移一个单位得到圆N：x²+y²=1，把点M（2$\sqrt{2}$，m）代入抛物线方程可得：点M（2$\sqrt{2}$，2）．以OM为直径的圆的方程为：$（x-\sqrt{2}）^{2}+（y-1）^{2}$=$\frac{（2\sqrt{2}）^{2}+{2}^{2}}{4}$，与x²+y²=1，相减可得直线CD的方程．利用点到直线的距离公式可得：原点O到直线CD的距离d．利用|CD|=2$\sqrt{1-{d}^{2}}$．可得：S_△OCD=$\frac{1}{2}$d|CD|．

解答 解：（I）圆x²+y²-2y=0，配方为x²+（y-1）²=1，圆心F（0，1）为抛物线y=$\frac{1}{2p}$x²的焦点，
∴$\frac{p}{2}$=1，解得p=2．
∴抛物线方程为：x²=4y．
∵直线l经过点F与抛物线交于A，B两点，|AB|=5．
∴5=y_A+y_B+p，可得y_A+y_B=5-2=3，
∴线段AB中点的纵坐标=$\frac{{y}_{A}+{y}_{B}}{2}$=$\frac{3}{2}$．
（II）将圆F沿y轴向下平移一个单位得到圆N：x²+y²=1，
把点M（2$\sqrt{2}$，m）代入抛物线方程可得：$（2\sqrt{2}）^{2}=4m$，解得m=2．
∴点M（2$\sqrt{2}$，2）．
∴以OM为直径的圆的方程为：$（x-\sqrt{2}）^{2}+（y-1）^{2}$=$\frac{（2\sqrt{2}）^{2}+{2}^{2}}{4}$，即${x}^{2}-2\sqrt{2}x+{y}^{2}-2y$=0，
与x²+y²=1，相减可得直线CD的方程为：2$\sqrt{2}$x+2y-1=0．
∴原点O到直线CD的距离d=$\frac{1}{\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+{2}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
|CD|=2$\sqrt{1-{d}^{2}}$=$\frac{\sqrt{33}}{3}$．
∴S_△OCD=$\frac{1}{2}$d|CD|=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{6}$×$\frac{\sqrt{33}}{3}$=$\frac{\sqrt{11}}{12}$．

点评 本题考查了抛物线与圆的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、直线与圆相切及其相交性质、点到直线的距离公式、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．