Question

2．（Ⅰ）已知函数f（x）=|x+1|+|x-a|（a＞0），若不等式f（x）≥5的解集为{x|x≤-2或x≥3}，求a的值；
（Ⅱ） 已知实数a，b，c∈R₊，且a+b+c=m，求证：$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$≥$\frac{9}{2m}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化简函数f（x）=|x+1|+|x-a|（a＞0）为分段函数，然后通过不等式f（x）≥5的解集为{x|x≤-2或x≥3}，求a的值；
（Ⅱ）利用“1”的代换，利用基本不等式转化证明即可．

解答 （本小题满分10分）
解：（Ⅰ） 因为a＞0，所以$f（x）=|x+1|+|x-a|=\left\{\begin{array}{l}-2x+a-1，x＜-1\\ a+1，-1≤x＜a\\ 2x-a+1，x≥a\end{array}\right.$，
又因为不等式f（x）≥5的解集为{x|x≤-2或x≥3}，就是x=-2或x=3时，f（x）=5，解得a=2．（5分）
（Ⅱ）证明：$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}=\frac{{（\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}）（a+b+b+c+c+a）}}{2m}$
=$\frac{{1+\frac{b+c}{a+b}+\frac{c+a}{a+b}+1+\frac{a+b}{b+c}+\frac{c+a}{b+c}+1+\frac{a+b}{c+a}+\frac{b+c}{c+a}}}{2m}$
=$\frac{{3+\frac{b+c}{a+b}+\frac{a+b}{b+c}+\frac{c+a}{b+c}+\frac{b+c}{c+a}+\frac{a+b}{c+a}+\frac{c+a}{a+b}}}{2m}≥\frac{9}{2m}$（10分）

点评 本小题主要考查含绝对值不等式以及不等式证明的相关知识，本小题重点考查考生的化归与转化思想．