Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面，，点、分别为和中点.

（1）求证：直线平面；

（2）求与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）取的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，然后利用线面平行的判定定理可证得直线平面；

（2）连接，推导出，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.

（1）取的中点为，连接、，

、分别为、的中点，且

四边形是菱形，是的中点，且，

且，四边形为平行四边形，，

又面，面，直线平面；

（2）连接、，

四边形是菱形，，是等边三角形，

为的中点，，，，

又面，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，

则、、、，

，，，

设平面的一个法向量为，

由，即，令，得，

设与平面所成角为，则,

因此，平面所成角的正弦值为.